中南大学2021年考研数学分析与高等代数真题
" style="visibility: hidden;">中南大学2021年数学分析真题一、计算题（每小题10分，共40分）
[*]
[*]
[*]，其中
[*]计算曲面积分
其中，方向指向外侧.
二、(15分) 若，且，试证：
三、(15分)若函数列，且关于单调递增，当时，在上逐点收敛于连续函数，试证：一致收敛于.
四、(20分)(1)求幂级数
收敛域;
(2) 设在上单调递增，且为的Fourier级数，利用积分第二中值定理，证明：有界.
五、(20分)若，，，且为凸集，即对任意，任意的有，若为定义在上的凸函数，即对任意的，任意的有
定义
试证：(1) 为上的凸函数充要条件是在上的凸函数；
(2) 在上的一个内点处取最大值，试证：在上的取值为某一常数.
六、(15分) 若函数
y
\end{array}\right.
" data-formula-type="block-equation" style=" text-align: center; overflow: auto;">求在上的最大值和最小值.
七、(15分) 设函数
证明：(1)当且仅当1" data-formula-type="inline-equation" style="">时，在原点连续；
(2) 当且仅当\frac{3}{2}" data-formula-type="inline-equation" style="">，在原点可微；
八、(10分)若函数是由方程
所确定，求
中南大学2021年高等代数真题一、(16分) 设是数域上的一元多项式环的一个子集，且满足
1)， 有 ；
2） 有
证明：存在使得
二、(16分)设为阶方阵，定义的行列式
其中表示数字的全排列的逆序数，证明：
(1)
(2)任何的一个全排列都有
三、(16分) 若为一个三阶实矩阵，且第一行为
且，求方程组的通解.
四、(16分) 设分别为，矩阵，且，试证：存在矩阵使得.
五、(16分) 若为阶实方阵，且满足
(1)0" data-formula-type="inline-equation" style="">；
(2)对 有
求
的规范型.
六、(16分)设是维实线性空间的一组基，且
试证：
(1)对任意，则
构成的一组基；
(2)对任意，在(1)中的组基中，存在一组基使得在这组基下坐标都非负.
七、(22分) 若阶实矩阵
有个线性无关的特征向量，且都非零，试证：
(1) 有个互异的特征值；
(2)都是上的线性空间；
(3)若
则同构.
八、(16分) 若是维线性空间上的线性变换，是上的恒等变换，证明：充要条件是
九、(16分) 设为实数域上的阶方阵全体构成的线性空间，
的非零线性映射，满足
在上定义
.
(1) 是上的内积吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由.
(2) 证明：是非退化的，即若，则.
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